弦月教育 – 中小學部補習 / 數學專科補習課程 / 數學補習筆記和練習
Capacity and Volume
容量與體積
📚 核心概念 Mastery Checklist
本單元涵蓋容量與體積的關鍵考點。請緊記三大核心策略：統一單位再運算、無蓋厚度減一層、物體體積等於水面上升的體積。掌握排水逆向思維，輕鬆破解高階應用題！
📖 容量與體積 核心筆記
(Notes & Strategies)
📖 知識點精講與錯題拆解
⚡ 1. 基本單位換算與加減混合題
萬用對應關係
體積與容量是可以「直接無縫轉換」的：
1 升 (L) = 1000 毫升 (mL)
➡
1 毫升 (mL) = 1 立方厘米 (cm³)
➡
1 立方米 (m³) = 1,000,000 立方厘米 (cm³)
實戰錯題 (剩餘量計算)： 媽媽買了一瓶 1.8L 的鮮橙汁，弟弟喝了 450mL，姊姊喝了 350cm³。這瓶鮮橙汁還剩下多少毫升(mL)？
第一步（全部化為 mL）：
• 1.8 L = 1.8 × 1000 = 1800 mL
• 350 cm³ = 350 mL
第二步（列式計算）：
• 1800 – 450 – 350 = 1350 – 350 = 1000 mL
• 1.8 L = 1.8 × 1000 = 1800 mL
• 350 cm³ = 350 mL
第二步（列式計算）：
• 1800 – 450 – 350 = 1350 – 350 = 1000 mL
🔍 2. 容器「厚度」與「無蓋」陷阱題
空間想像力考點
求容器的內部容量時，必須使用「內部尺寸」（外尺寸減去厚度）。
經典考題： 一個「無蓋」木盒，從外面量度長 32cm、寬 22cm、高 11cm。已知木板厚度是 1cm，求木盒的容量。
• 內部之長： 32 – 1 – 1 = 30 cm（左右各有厚度，減2次）
• 內部之寬： 22 – 1 – 1 = 20 cm（前後各有厚度，減2次）
• 內部之高： 11 – 1 = 10 cm（因為無蓋，頂部不需減，只減底部1次！）
容量 = 30 × 20 × 10 = 6000 cm³
💡 3. 高階排水法與逆向水位計算法
核心公式
浸沒物體的體積 = 底面積 × 水位改變高度 ( ⚠️ 注意：底面積必須是內壁底面積 )
精選 LQ 應用題 (求鐵球體積)： 有一個長方體容器，內壁底面長 25cm、寬 20cm，裏面盛有 3L 的水。把一個鐵球完全浸沒在水中後，水位上升到 8cm。求鐵球的體積。
【精準解題步驟拆解】
Step 1 計算容器內壁底面積： 25 × 20 = 500 cm²
Step 2 計算原本的水位高度： 3 L = 3000 mL = 3000 cm³
Step 3 找出水位上升了多少： 8cm (新水位) – 6cm (原水位) = 2 cm
Step 4 算出鐵球體積： 500 (底面積) × 2 (上升高度) = 1000 cm³
Step 1 計算容器內壁底面積： 25 × 20 = 500 cm²
Step 2 計算原本的水位高度： 3 L = 3000 mL = 3000 cm³
原本水的體積 (3000 cm³)
底面積 (500 cm²)
= 6 cmStep 3 找出水位上升了多少： 8cm (新水位) – 6cm (原水位) = 2 cm
Step 4 算出鐵球體積： 500 (底面積) × 2 (上升高度) = 1000 cm³
🚀 考前奪分必備記憶庫 (Expert Tips)
- 不規則物體的體積： 水槽內放了石頭使水位上升，石頭體積 = 內壁底面積 × 水位上升高度。例如底面積 150cm²，水位上升 5cm，則石頭體積為 150 × 5 = 750 cm³。
- 平均體積分攤題： 放入 3 條金魚使水面上升 2cm (容器長 20cm、寬 15cm)。
總上升體積 = 20 × 15 × 2 = 600 cm³。平均每條金魚體積 = 600 ÷ 3 = 200 cm³。不要忘記最後要除以數量！ - 正方體積木體積： 邊長 2cm 的小正方體，其單個體積為 2 × 2 × 2 = 8 cm³。
🔎 學生常見錯誤：容器厚度大拆解
點擊下方按鈕，觀察右方「剖面圖」的藍色內部空間如何被壓縮！
📏 內部之長:
32 – 1 – 1
30 cm
📐 內部之寬:
22 – 1 – 1
20 cm
⏳ 內部之高:
11 – 1
10 cm
💎 木盒當前容量 (Volume)
6000 cm³
🪚 側面剖面圖 (切開看)
外高
11cm
11cm
🚫 沒有蓋子 (0cm)
內高 = 10cm
底部厚度 1cm
💡 無蓋木盒大看穿： 看右圖！因為沒有蓋子，上方是空的，算「內高」時，只要從外高(11cm)扣除底部的 1cm 厚度即可！
🧊 體積大解密：為什麼 1m³ 有 100萬 cm³？
很多同學會掉進陷阱，以為 1米 = 100厘米，所以 1立方米 = 100立方厘米。
其實這是錯的喔！❌ 我們把正方體拆開來看看：
🌟 第一步：確認基本長度
1 m = 100 cm
🌟 第二步：代入「長 × 寬 × 高」
1 m³ =
1 m (長) ×
1 m (寬) ×
1 m (高)
⬇️ 全部把 m 換成 cm ⬇️
1 m³ =
100 cm ×
100 cm ×
100 cm
🌟 第三步：全部乘起來！
= (100 × 100 × 100) cm³
= 1,000,000 cm³
💡 想像一下： 一個 1 立方米的大箱子，每一排可以放 100 粒小骰子 (1cm³)，鋪滿一層要 10,000 粒 (100×100)，總共疊 100 層… 裡面總共塞滿了 一百萬粒 小骰子！🎲
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