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Capacity and Volume
容量與體積
📚 弦月教育數學補習 – 核心概念 Mastery Checklist
本單元全面解析不規則立體體積的核心題型：排水法、溢出法、水面上升與臨界點思考。透過圖解與重點表格，幫你避開厚度陷阱，輕鬆破解各種文字應用題！
📝 容量與體積 練習 (Exercises)
📖 容量與體積 圖解筆記 (Notes & Strategies)
五大核心圖解技巧 🚀
⚡ 1. 單位換算：超級變變變
萬用對應關係
體積與容量是可以「直接無縫轉換」的！
大瓶子
1 升 (L)
➡
小量杯
1000 毫升 (mL)
➡
立體方塊
1000 立方厘米 (cm³)
🚨 單位換算：1 m³ = 1 ,
0 0
0 , 0
0 0 cm³
( 來自長、寬、高各 100cm ➡ 100cm × 100cm × 100cm )
🧃 實戰題（果汁剩多少）：
媽媽買了 1.8 L 的果汁，弟弟喝了 450 mL，姊姊喝了 350 cm³。還剩下多少 mL？
媽媽買了 1.8 L 的果汁，弟弟喝了 450 mL，姊姊喝了 350 cm³。還剩下多少 mL？
- 第一步（統一單位）：1.8 L = 1800 mL，350 cm³ = 350 mL
- 第二步（連減法）：1800 – 450 – 350 = 1000 mL
📦 2. 容器「厚度」的超級陷阱
算容器「裡面能裝多少水」時，必須扣掉木板或玻璃的厚度！
| 容器類型 | 長、寬 怎麼減？ | 高度 怎麼減？ |
|---|---|---|
| 有蓋木盒 🧰 | 減去 2 次厚度（左右 / 前後都有） | 減去 2 次厚度（上下都有） |
| 無蓋木盒 🗑️ 最常考陷阱！ |
減去 2 次厚度（左右 / 前後都有） | 只減 1 次厚度！ （因為沒有蓋子，上面空空的） |
📏 實戰算一算： 一個「無蓋」木盒，外面長 32cm、寬 22cm、高 11cm，厚度 1cm。
內部長度 ➡ 32 – 1 – 1 = 30cm
內部寬度 ➡ 22 – 1 – 1 = 20cm
內部高度 ➡ 11 – 1 = 10cm（只減一次！）
盒子容量 ➡ 30 × 20 × 10 = 6000 cm³
內部長度 ➡ 32 – 1 – 1 = 30cm
內部寬度 ➡ 22 – 1 – 1 = 20cm
內部高度 ➡ 11 – 1 = 10cm（只減一次！）
盒子容量 ➡ 30 × 20 × 10 = 6000 cm³
💧 3. 神奇的「基本排水法」
找水位差
東西丟進水裡，水面上升的空間 ＝ 物品的體積！
💧
原來的水
180 mL
+ 放草莓 🍓
📈
第一次上升
215 mL
+ 放橡皮擦 ✏️
🚀
第二次上升
260 mL
🧠 動動腦（橡皮擦比草莓大多少）：
草莓體積 ➡ 215 – 180 = 35 cm³
橡皮擦體積 ➡ 260 – 215 = 45 cm³
體積相差 ➡ 45 – 35 = 10 cm³！
⚠️ 秘訣：讀數相減就能直接得到體積，但物體必須完全淹沒喔！
草莓體積 ➡ 215 – 180 = 35 cm³
橡皮擦體積 ➡ 260 – 215 = 45 cm³
體積相差 ➡ 45 – 35 = 10 cm³！
⚠️ 秘訣：讀數相減就能直接得到體積，但物體必須完全淹沒喔！
🌊 4. 高階水面上升與精準解題
💡 浸沒物品的體積 ＝ 容器底面積 × 水位上升高度
精選應用題（求鐵球體積）：
長方體容器底面長 25cm、寬 20cm，裝有 3L 的水。放入鐵球完全浸沒後，水深變為 8cm。求鐵球體積。
【兒童友善解題 4 步驟】
• 步驟 1（底面積）：25 × 20 = 500 cm²
• 步驟 2（原水深）：3L 換算成 3000 mL。水深 ➡ 3000 ÷ 500 = 6 cm
• 步驟 3（上升高度）：新水深 8cm – 原水深 6cm = 2 cm
• 步驟 4（鐵球體積）：底面積 500 × 上升高度 2 = 1000 cm³
• 步驟 1（底面積）：25 × 20 = 500 cm²
• 步驟 2（原水深）：3L 換算成 3000 mL。水深 ➡ 3000 ÷ 500 = 6 cm
• 步驟 3（上升高度）：新水深 8cm – 原水深 6cm = 2 cm
• 步驟 4（鐵球體積）：底面積 500 × 上升高度 2 = 1000 cm³
🚀 聯立與遞減球題型：
放 1 個金屬塊 A 後水面升到 340mL，不拿出來再放 1 個相同的金屬塊 A 升到 420mL。代表：
單個金屬塊 A 體積 ➡ 420 – 340 = 80 cm³
原本杯子裡的水 ➡ 340 – 80 = 260 mL
⚖️ 5. 臨界挑戰：去尾法與進一法
| 題目問法 | 思考邏輯與算式範例 | 結果 |
|---|---|---|
| 最多可以放幾顆，水「不會」溢出來？ |
量杯剩餘空間 150 mL，每顆球 40 cm³。 算式：150 ÷ 40 = 3.75 顆 （第 4 顆放進去水就一定會滿出來！） |
👉 使用去尾法 答案：3 顆 |
| 最少要放幾顆，水「才會」溢出來？ |
既然放 3 顆剛好不會溢出來… 那只要再多放 1 顆，水就一定會滿出量杯了！ |
👉 剛好的數量 + 1 答案：4 顆 |
🌟 考前奪分必備記憶庫：
- 平均體分攤： 放入 3 條金魚使水面上升 2cm (容器長 20cm、寬 15cm)。總體積 ➡ 20 × 15 × 2 = 600 cm³。平均每條魚體積 ➡ 600 ÷ 3 = 200 cm³。
- 正方體積木： 邊長 2cm 的小正方體，單個體積 ➡ 2 × 2 × 2 = 8 cm³。
- 滿水桶溢出： 如果水桶已經裝滿了水，丟進去物體後「流出來的水量」就等於「物品的體積」。如果丟進 3 個相同金屬球流出 135mL 的水，每個球 ➡ 135 ÷ 3 = 45 cm³。
🔎 學生常見錯誤：容器厚度大拆解
點擊下方按鈕，觀察右方「剖面圖」的藍色內部空間如何被壓縮！
📏 內部之長:
32 – 1 – 1
30 cm
📐 內部之寬:
22 – 1 – 1
20 cm
⏳ 內部之高:
11 – 1
10 cm
💎 木盒當前容量 (Volume)
6000 cm³
🪚 側面剖面圖 (切開看)
外高
11cm
11cm
🚫 沒有蓋子 (0cm)
內高 = 10cm
底部厚度 1cm
💡 無蓋木盒大看穿： 看右圖！因為沒有蓋子，上方是空的，算「內高」時，只要從外高(11cm)扣除底部的 1cm 厚度即可！
💡 容量體積單位轉換 1 m³ = 1,000,000 cm³
很多同學常會在這裡出錯，誤以為 1m = 100cm，所以 1m³ 就等於 100cm³。
其實在「立體空間」裡，長、寬、高都要各變大 100 倍！我們一起來推導一次：
Step 1 & 2 ── 代入基本長度 (1 m = 100 cm)
1 m³ =
1 m (長) ×
1 m (寬) ×
1 m (高)
⬇️ 將所有米(m) 替換為 厘米(cm) ⬇️
1 m³ =
100 cm ×
100 cm ×
100 cm
Step 3 ── 把數字全部乘起來！
= (100 × 100 × 100) cm³
= 1,000,000 cm³
🔍 真實比例震撼：1m³ 裡面到底有多少個 1cm³？
這 1 小紅點 = 1 cm³
(真實比例)
(真實比例)
1 平方米 (1m × 1m)
剛好塞滿 10,000 個微小方格
剛好塞滿 10,000 個微小方格
🔎 放大鏡看清楚
💡 空間想像的震撼： 左邊這個藍色大方塊是 1m × 1m。按照真實比例，我把它切成了密密麻麻的 10,000 個微小方格！
這還只是「第一層」底面。要成為 1 立方米 (1m³)，你必須往後疊滿 100 層。10,000 × 100，裡面就是確確實實的 一百萬個 1cm³ 小積木！
這還只是「第一層」底面。要成為 1 立方米 (1m³)，你必須往後疊滿 100 層。10,000 × 100，裡面就是確確實實的 一百萬個 1cm³ 小積木！
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